数学 - Python - 基本理論(Basic Theory) - 微分(Differentiation) - 冪関数の微分(指数の拡張)(ルジャンドルの多項式)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、3章(微分(Differentiation))、3.6(冪関数の微分(指数の拡張))、問題4.を取り組んでみる。

4. 0. 
      $\begin{array}{l}{D}_x{}^0{\left(x^2-1\right)}^0=1\\ P_0=\frac{1}{2^{0}0!}·1=1\end{array}$
   1. 
      $\begin{array}{l}{D}_x{}^1{\left(x^2-1\right)}^1=2x\\ P_1=\frac{1}{2^{1}1!}2x=x\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}{D}_x{}^2{\left(x^2-1\right)}^2\\ =D_x{}^1\left(2\left(x^2-1\right)2x\right)\\ =4D_x{}^1\left(x^3-x\right)\\ =4\left(3x^2-1\right)\\ P_2=\frac{1}{2^{2}2!}4\left(3x^2-1\right)\\ =\frac{3x^2-1}{2}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}{D}_x{}^3{\left(x^2-1\right)}^3\\ =D_x{}^2\left(3{\left(x^2-1\right)}^{2}2x\right)\\ =6D_x{}^2\left(x{\left(x^2-1\right)}^2\right)\\ =6D_x{}^1\left({\left(x^2-1\right)}^2+x2\left(x^2-1\right)2x\right)\\ =6D_x{}^1\left({\left(x^2-1\right)}^2+4\left(x^4-x^2\right)\right)\\ =6\left(2\left(x^2-1\right)2x+4\left(4x^3-2x\right)\right)\\ =24\left(x^3-x+4x^3-2x\right)\\ =24\left(5x^3-3x\right)\\ P_3=\frac{1}{2^{3}3!}24\left(5x^3-3x\right)\\ =\frac{5x^3-3x}{2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Derivative, factorial, plot

print('4.')
x, n = symbols('x n')
Pn = lambda n:  1 / (2 ** n * factorial(n)) * \
    Derivative((x ** 2 - 1) ** n, x, n)

for i in range(4):
    print(f'n = {i}')
    Pi = Pn(i)
    pprint(Pi)
    Pi = Pi.doit()
    pprint(Pi)
    try:
        p = plot(Pi, show=False, legend=True)
        p.save(f'sample4_{i}.svg')
    except Exception as err:
        print(type(err), err)
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample4.py
4.
n = 0
1
1
<class 'TypeError'> __init__() missing 1 required positional argument: 'var_start_end'

n = 1
d ⎛ 2    ⎞
──⎝x  - 1⎠
dx        
──────────
    2     
x

n = 2
  2⎛        2⎞
 d ⎜⎛ 2    ⎞ ⎟
───⎝⎝x  - 1⎠ ⎠
  2           
dx            
──────────────
      8       
   2    
3⋅x  - 1
────────
   2    

n = 3
  3⎛        3⎞
 d ⎜⎛ 2    ⎞ ⎟
───⎝⎝x  - 1⎠ ⎠
  3           
dx            
──────────────
      48      
  ⎛   2    ⎞
x⋅⎝5⋅x  - 3⎠
────────────
     2      

$