数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 凸関数(接線がグラフの上側にあることの十分条件)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、3(凸関数)、練習問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   $x=x_0$ における接線の方程式を y = g(x)とする。

   $\begin{array}{l}h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)\\ g\left(x\right)=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\\ g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x_0\right)\\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(x_0\right)\end{array}$

   平均値の定理を利用。

   $\begin{array}{l}x<x_0\\ \frac{f\text{'}\left(x_0\right)-f\text{'}\left(x\right)}{x_0-x}=f\text{'}\text{'}\left(c\right)\\ f\text{'}\left(x_0\right)-f\left(x\right)=f\text{'}\text{'}\left(c\right)\left(x_0-x\right)\\ f\text{'}\text{'}\left(c\right)<0,x_0-x>0\\ f\text{'}\left(x_0\right)-f\text{'}\left(x\right)<0\\ f\text{'}\left(x\right)-f\left(x_0\right)>0\\ h\text{'}\left(x\right)>0\\ \\ x>x_0\\ \frac{f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(x_0\right)}{x-x_0}=f\text{'}\text{'}\left(c\right)\\ f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(x_0\right)=f\text{'}\text{'}\left(c\right)\left(x-x_0\right)\\ f\text{'}\text{'}\left(c\right)<0,x-x_0>0\\ f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(x_0\right)<0\\ h\text{'}\left(x\right)<0\\ \\ h\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)\\ =f\left(x_0\right)-\left(f\left(x_0\right)\left(x_0-x_0\right)+f\left(x_0\right)\right)\\ =0\end{array}$

   よって、h(x) は $x<x_0$ で増加、$x>x_0$ で減少、$h\left(x_0\right)=0$ となる。

   ゆえに、g(x)は、$x=x_0$ を除き、fのグラフの上側にある。