数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 – 線形写像に対応する行列(標準座標系を持つ平面上の点、回転後の座標系、ノルムの保存)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像に対応する行列)、練習問題6、7.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}{E}_1\text{'}=\left(\cos \theta \right)E_1+\left(\sin \theta \right)E_2\\ E_2\text{'}=\left(-\sin \theta \right)E_1+\left(\cos \theta \right)E_2\\ \\ \left(\cos \theta \right)E_1\text{'}=\left({\cos }^2\theta \right)E_1+\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_2\\ \left(\sin \theta \right)E_2\text{'}=\left(-{\sin }^2\theta \right)E_1+\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_2\\ E_1=\left(\cos \theta \right)E_1\text{'}+\left(-\sin \theta \right)E_2\text{'}\\ \\ \left(\sin \theta \right)E_1\text{'}=\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_1+\left({\sin }^2\theta \right)E_2\\ \left(\cos \theta \right)E_2\text{'}=\left(-\sin \theta \cos \theta \right)E_1+\left({\cos }^2\theta \right)E_2\\ E_2=\left(\sin \theta \right)E_1\text{'}+\left(\cos \theta \right)E_2\text{'}\\ \\ F\left(E_1\right)=E_1\text{'}=\left(\cos \theta \right)E_1+\left(\sin \theta \right)E_2\\ F\left(E_2\right)=E_2\text{'}=\left(-\sin \theta \right)E_1+\left(\cos \theta \right)E_2\\ \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\\ \\ F\left(x,y\right)=\left(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta \right)\\ x\text{'}=x\cos \theta -y\sin \theta \\ y\text{'}=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$
7. 
   

   F、Θ、x'、y'は前問、問6と同じ。

   $\begin{array}{l}\Vert \left(x,y\right)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}\\ \Vert \left(x\text{'},y\text{'}\right)\Vert \\ =\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta -2xy\sin \theta \cos \theta +x^2{\sin }^2\theta +y^2{\cos }^2\theta +2xy\sin \theta \cos \theta }\\ =\sqrt{x^2\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)+y^2\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)}\\ =\sqrt{x^2+y^2}\\ \Vert \left(x,y\right)\Vert =\Vert \left(x\text{'},y\text{'}\right)\Vert =\Vert \left(F\left(x\right),F\left(y\right)\right)\Vert \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, cos, sin, sqrt

Θ = symbols('Θ')
M = Matrix([[cos(Θ), -sin(Θ)],
            [sin(Θ), cos(Θ)]])

pprint(M)

f = lambda X: M * X
x, y = symbols('x y')
X = Matrix([x, y])
Y = f(X)
x1, y1 = Y
pprint(Y)
pprint(x1)
pprint(y1)

nx = sqrt(X[0] ** 2 + X[1] ** 2)
ny = sqrt(Y[0] ** 2 + Y[1] ** 2)
pprint(nx)
pprint(ny)
pprint(ny.expand())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
⎡cos(Θ)  -sin(Θ)⎤
⎢               ⎥
⎣sin(Θ)  cos(Θ) ⎦
⎡x⋅cos(Θ) - y⋅sin(Θ)⎤
⎢                   ⎥
⎣x⋅sin(Θ) + y⋅cos(Θ)⎦
x⋅cos(Θ) - y⋅sin(Θ)
x⋅sin(Θ) + y⋅cos(Θ)
   _________
  ╱  2    2 
╲╱  x  + y  
   _________________________________________________
  ╱                      2                        2 
╲╱  (x⋅sin(Θ) + y⋅cos(Θ))  + (x⋅cos(Θ) - y⋅sin(Θ))  
   ___________________________________________________
  ╱  2    2       2    2       2    2       2    2    
╲╱  x ⋅sin (Θ) + x ⋅cos (Θ) + y ⋅sin (Θ) + y ⋅cos (Θ)
$