数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 – 行列式の存在(三角行列の行列式)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、3(行列式の存在)、練習問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   帰納法。

   $\begin{array}{l}D\left(A\right)=D\left(A_n\right)\\ ={\left(-1\right)}^{n+n}{a}_{nn}D\left(A_{n-1}\right)\\ \\ A_{nn}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ii}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, Symbol
import random

print('6.')

for n in range(1, 11):
    rows = []
    for i in range(1, n + 1):
        row = []
        for j in range(1, n + 1):
            if j < i:
                row.append(0)
            elif i == j:
                row.append(Symbol(f'a_{i}{j}'))
            else:
                row.append(random.randrange(10))
        rows.append(row)
    A = Matrix(rows)
    pprint(A)
    pprint(A.det())
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
6.
[a₁₁]
a₁₁

⎡a₁₁   3 ⎤
⎢        ⎥
⎣ 0   a₂₂⎦
a₁₁⋅a₂₂

⎡a₁₁   5    3 ⎤
⎢             ⎥
⎢ 0   a₂₂   5 ⎥
⎢             ⎥
⎣ 0    0   a₃₃⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃

⎡a₁₁   9    9    1 ⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   a₂₂   9    1 ⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   8 ⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   a₄₄⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄

⎡a₁₁   3    5    2    9 ⎤
⎢                       ⎥
⎢ 0   a₂₂   8    7    0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   5    1 ⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   0 ⎥
⎢                       ⎥
⎣ 0    0    0    0   a₅₅⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅

⎡a₁₁   5    8    2    4    2 ⎤
⎢                            ⎥
⎢ 0   a₂₂   5    1    4    7 ⎥
⎢                            ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   1    9    6 ⎥
⎢                            ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   4    5 ⎥
⎢                            ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅   6 ⎥
⎢                            ⎥
⎣ 0    0    0    0    0   a₆₆⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆

⎡a₁₁   5    3    6    3    0    2 ⎤
⎢                                 ⎥
⎢ 0   a₂₂   4    8    7    6    9 ⎥
⎢                                 ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   8    3    1    5 ⎥
⎢                                 ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   7    6    2 ⎥
⎢                                 ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅   1    5 ⎥
⎢                                 ⎥
⎢ 0    0    0    0    0   a₆₆   8 ⎥
⎢                                 ⎥
⎣ 0    0    0    0    0    0   a₇₇⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇

⎡a₁₁   1    6    0    2    0    8    2 ⎤
⎢                                      ⎥
⎢ 0   a₂₂   9    7    7    7    5    9 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   8    7    6    1    7 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   9    9    1    3 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅   9    4    4 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢ 0    0    0    0    0   a₆₆   8    5 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0   a₇₇   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎣ 0    0    0    0    0    0    0   a₈₈⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇⋅a₈₈

⎡a₁₁   8    2    8    8    4    2    8    6 ⎤
⎢                                           ⎥
⎢ 0   a₂₂   4    0    2    3    1    2    1 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   6    9    5    7    1    1 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   1    8    6    9    3 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅   0    0    0    8 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0    0    0    0   a₆₆   5    6    9 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0   a₇₇   7    0 ⎥
⎢                                           ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0    0   a₈₈   6 ⎥
⎢                                           ⎥
⎣ 0    0    0    0    0    0    0    0   a₉₉⎦
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇⋅a₈₈⋅a₉₉

⎡a₁₁   5    4    6    2    6    1    4    4     0  ⎤
⎢                                                  ⎥
⎢ 0   a₂₂   0    1    6    7    3    6    6     7  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   8    0    8    9    8    8     3  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄   0    1    2    3    4     3  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅   2    1    1    8     0  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0   a₆₆   6    9    3     6  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0   a₇₇   2    1     8  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0    0   a₈₈   7     4  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0    0    0   a₉₉    3  ⎥
⎢                                                  ⎥
⎣ 0    0    0    0    0    0    0    0    0   a₁₀₁₀⎦
a₁₀₁₀⋅a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇⋅a₈₈⋅a₉₉

$