数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 – 線形写像に対応する行列(射影、回転、恒等写像)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像に対応する行列)、練習問題1、2.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$
   2. 
      $\begin{array}{l}f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1,x_2,x_3\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\\ f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1,x_2,x_4\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1,x_3,x_4\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ f\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_2,x_3,x_4\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$
   3. 
      $3I_2$
   4. 
      $7I_n$
   5. 
      $-I_n$
   6. 
      $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
2. 
   $\begin{array}{l}{E}_1\text{'}=\left(\cos \theta \right)E_1+\left(\sin \theta \right)E_2\\ E_2\text{'}=\left(-\sin \theta \right)E_1+\left(\cos \theta \right)E_2\\ \\ \left(\cos \theta \right)E_1\text{'}=\left({\cos }^2\theta \right)E_1+\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_2\\ \left(\sin \theta \right)E_2\text{'}=\left(-{\sin }^2\theta \right)E_1+\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_2\\ \\ \left(\cos \theta \right)E_1-\left(\sin \theta \right)E_2\text{'}=E_1\\ \\ \left(\sin \theta \right)E_1\text{'}=\left(\sin \theta \cos \theta \right)E_1+\left({\sin }^2\theta \right)E_2\\ \left(\cos \theta \right)E_2\text{'}=\left(-\sin \theta \cos \theta \right)E_1+\left({\cos }^2\theta \right)E_2\\ \\ \left(\sin \theta \right)E_1\text{'}+\left(\cos \theta \right)E_2\text{'}=E_2\\ \\ id\left(E_1\right)=\left(\cos \theta \right)E_1+\left(-\sin \theta \right)E_2\text{'}\\ id\left(E_2\right)=\left(\sin \theta \right)E_1\text{'}+\left(\cos \theta \right)E_2\text{'}\\ \\ \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$
   1. 
      $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$
   2. 
      $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -& 1\end{array}\right)$
   3. 
      $\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$
   4. 
      $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$
   5. 
      $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$
   6. 
      $\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right)$
   7. 
      $\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, cos, sin, pi

print('2.')
Θ = symbols('Θ')
M = Matrix([[cos(Θ), sin(Θ)],
            [-sin(Θ), cos(Θ)]])

pprint(M)

xs = [pi / 2, pi / 4, pi, -pi, -pi / 3, pi / 6, 5 * pi / 4]

for i, x in enumerate(xs):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    pprint(M.subs({Θ: x}))
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
2.
⎡cos(Θ)   sin(Θ)⎤
⎢               ⎥
⎣-sin(Θ)  cos(Θ)⎦
(a)
⎡0   1⎤
⎢     ⎥
⎣-1  0⎦

(b)
⎡ √2   √2⎤
⎢ ──   ──⎥
⎢ 2    2 ⎥
⎢        ⎥
⎢-√2   √2⎥
⎢────  ──⎥
⎣ 2    2 ⎦

(c)
⎡-1  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -1⎦

(d)
⎡-1  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   -1⎦

(e)
⎡     -√3 ⎤
⎢1/2  ────⎥
⎢      2  ⎥
⎢         ⎥
⎢√3       ⎥
⎢──   1/2 ⎥
⎣2        ⎦

(f)
⎡ √3      ⎤
⎢ ──   1/2⎥
⎢ 2       ⎥
⎢         ⎥
⎢      √3 ⎥
⎢-1/2  ── ⎥
⎣      2  ⎦

(g)
⎡-√2   -√2 ⎤
⎢────  ────⎥
⎢ 2     2  ⎥
⎢          ⎥
⎢ √2   -√2 ⎥
⎢ ──   ────⎥
⎣ 2     2  ⎦

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