数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(有理式、多項式、増加・減少する範囲、極大点・極小点、導関数、未定義区間)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題26、27、28、29、30.を取り組んでみる。

- 増加する範囲。
  $x < - 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3} < x$
- 減少する範囲。
  $- 2 \sqrt{3} < x < 0, 0 < x < 2 \sqrt{3}$
- 極大点。
  $x = - 2 \sqrt{3}$
- 極小点。
  $x = 2 \sqrt{3}$
- 増加する範囲。
  $x < - 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3} < x$
- 減少する範囲。
  $- 1 - \sqrt{3} < x < - 1 + \sqrt{3}$
- 極大点。
  $x = - 1 - \sqrt{3}$
- 極小点。
  $x = - 1 + \sqrt{3}$
- 増加する範囲は $ℝ$ 。
- 減少する範囲。
- 極大点。
- 極小点。
- 増加する範囲。
- 減少する範囲。
  $ℝ - {2}$
- 極大点。
- 極小点。
- 増加する範囲。
  $ℝ - {- \frac{3}{2}}$
- 減少する範囲。
- 極大点。
- 極小点。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, Rational

x = symbols('x')
fs = [(x ** 2 - 4) / x ** 3,
      Rational(1, 3) * x ** 3 + x ** 2 - 2 * x,
      x ** 3 - 3 * x ** 2 + 6 * x - 3,
      (x ** 2 - 4) / (x - 2) ** 2,
      (3 * x - 2) / (2 * x + 3)]

for i, f in enumerate(fs, 26):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample26.py
(26)
  ⎛ 2    ⎞
d ⎜x  - 4⎟
──⎜──────⎟
dx⎜   3  ⎟
  ⎝  x   ⎠
       ⎛ 2    ⎞
2    3⋅⎝x  - 4⎠
── - ──────────
 2        4    
x        x     
[-2⋅√3, 2⋅√3]
    ⎛ 2    ⎞
    ⎜x  - 4⎟
lim ⎜──────⎟
x─→∞⎜   3  ⎟
    ⎝  x   ⎠
0
     ⎛ 2    ⎞
     ⎜x  - 4⎟
 lim ⎜──────⎟
x─→-∞⎜   3  ⎟
     ⎝  x   ⎠
0

(27)
  ⎛ 3           ⎞
d ⎜x     2      ⎟
──⎜── + x  - 2⋅x⎟
dx⎝3            ⎠
 2          
x  + 2⋅x - 2
[-1 + √3, -√3 - 1]
    ⎛ 3           ⎞
    ⎜x     2      ⎟
lim ⎜── + x  - 2⋅x⎟
x─→∞⎝3            ⎠
∞
     ⎛ 3           ⎞
     ⎜x     2      ⎟
 lim ⎜── + x  - 2⋅x⎟
x─→-∞⎝3            ⎠
-∞

(28)
d ⎛ 3      2          ⎞
──⎝x  - 3⋅x  + 6⋅x - 3⎠
dx                     
   2          
3⋅x  - 6⋅x + 6
[1 - ⅈ, 1 + ⅈ]
    ⎛ 3      2          ⎞
lim ⎝x  - 3⋅x  + 6⋅x - 3⎠
x─→∞                     
∞
     ⎛ 3      2          ⎞
 lim ⎝x  - 3⋅x  + 6⋅x - 3⎠
x─→-∞                     
-∞

(29)
  ⎛  2     ⎞
d ⎜ x  - 4 ⎟
──⎜────────⎟
dx⎜       2⎟
  ⎝(x - 2) ⎠
             ⎛ 2    ⎞
  2⋅x      2⋅⎝x  - 4⎠
──────── - ──────────
       2           3 
(x - 2)     (x - 2)  
[]
    ⎛  2     ⎞
    ⎜ x  - 4 ⎟
lim ⎜────────⎟
x─→∞⎜       2⎟
    ⎝(x - 2) ⎠
1
     ⎛  2     ⎞
     ⎜ x  - 4 ⎟
 lim ⎜────────⎟
x─→-∞⎜       2⎟
     ⎝(x - 2) ⎠
1

(30)
d ⎛3⋅x - 2⎞
──⎜───────⎟
dx⎝2⋅x + 3⎠
   3      2⋅(3⋅x - 2)
─────── - ───────────
2⋅x + 3             2
           (2⋅x + 3) 
[]
    ⎛3⋅x - 2⎞
lim ⎜───────⎟
x─→∞⎝2⋅x + 3⎠
3/2
     ⎛3⋅x - 2⎞
 lim ⎜───────⎟
x─→-∞⎝2⋅x + 3⎠
3/2

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample26.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => (x ** 2 - 4) / x ** 3,
    g = (x) => (x ** 2 - 4) / (x - 2) ** 2,
    h = (x) => (3 * x - 2) / (2 * x + 3);
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[2, y1, 2, y2, 'red'],
                 [-3/2, y1, -3/2, y2, 'brown']],
        fns = [[f, 'orange'],
               [g, 'green'],
               [h, 'blue']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =

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2017年7月28日金曜日

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