数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(空間の四面体の体積)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問12.を取り組んでみる。

12. 
    

    点A(3, 0, 0)、B(0, 3, 0)、C(0, 0, 3)、D(4, 4, 4)とする。

    点Dから点A、B、Cを通る平面に下した足を点Qとする。

    点A、B、Cを通る平面の方程式を ax + by + cz = d とする。

    $\begin{array}{l}V=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2\left(\sin \frac{\pi }{3}\right)\left|\overrightarrow{QD}\right|\\ \\ {\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2=3^2+3^2=18\\ \\ 3a=d\\ 3b=d\\ 3c=d\\ \\ x+y+z=3\\ \\ \left|\overrightarrow{QD}\right|=\frac{\left|4+4+4-3\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\\ =\frac{9}{\sqrt{3}}\\ \\ V=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}·18·\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{9}{\sqrt{3}}\\ =·\frac{27}{2}\end{array}$