数学 - Python - 関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 – いろいろな関数の導関数 - 三角関数についての基本的な極限

数学読本〈4〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈4〉数列の極限，順列/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数についての基本的な極限、問43.を取り組んでみる。

43. 1. 
       $\underset{x\to 0}{\lim }3\frac{\sin 3x}{3x}=3$
    2. 
       $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}·\frac{1}{2\cos x}=\frac{1}{2}$
    3. 
       $\begin{array}{l}\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin 2\theta \cos 3\theta }{\sin 3\theta }\\ =\underset{\theta \to 0}{\lim }2\frac{\sin 2\theta }{2\theta }\frac{3\theta }{3\sin 3\theta }·\cos 3\theta =\frac{2}{3}\end{array}$
    4. 
       $\begin{array}{l}\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\theta }\frac{2\theta }{\sin 2\theta }\left(7\theta \frac{\sin 7\theta }{7\theta }+5\theta \frac{\sin 5\theta }{5\theta }\right)\\ =\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{7+5}{2}\\ =6\end{array}$
    5. 
       $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}x}{x\left(1+\cos x\right)}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x\left(1+\cos x\right)}\\ =0\end{array}$
    6. 
       $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}2x}{x^2\left(1+\cos 2x\right)}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }4\frac{{\sin }^{2}2x}{{\left(2x\right)}^2\left(1+\cos 2x\right)}\\ =2\end{array}$
    7. 
       $\begin{array}{l}x=\pi -\theta \\ \theta \to \pi \Rightarrow x\to 0\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan \left(\pi -x\right)}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\tan x}{x\cos x}\\ =-1\end{array}$
    8. 
       $\begin{array}{l}\theta =\frac{1}{x}\\ x\to \infty \Rightarrow \theta \to 0\\ \underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1\end{array}$
    9. 
       $\begin{array}{l}\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le \left|x\right|\\ \underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0\end{array}$
    10. 
        $\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\cos \frac{\pi }{2}x}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\\ x=\frac{2}{\pi }y+1\\ x\to 1\Rightarrow y\to 0\\ \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(y+\frac{\pi }{2}\right)}{\left(2+\frac{2}{\pi }y\right)\left(-\frac{2}{\pi }y\right)}\\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{-\sin y}{\left(2+\frac{2}{\pi }y\right)\left(-\frac{2}{\pi }y\right)}\\ =-\frac{\pi }{2}\underset{y\to 0}{\lim }\frac{-\sin y}{\left(2+\frac{2}{\pi }y\right)}\\ =\frac{\pi }{4}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Limit, sin, cos, pi

x = symbols('x')
exprs = [(x * sin(1 / x), 0),
         (cos(pi / 2 * x) / (1 - x ** 2), 1)]

for i, (expr, x0) in enumerate(exprs, 9):
    print('({})'.format(i))
    for dir in ['+', '-']:
        l = Limit(expr, x, x0, dir=dir)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample43.py
(9)
          ⎛1⎞
 lim x⋅sin⎜─⎟
x─→0⁺     ⎝x⎠
0
          ⎛1⎞
 lim x⋅sin⎜─⎟
x─→0⁻     ⎝x⎠
0
(10)
        ⎛π⋅x⎞
     cos⎜───⎟
        ⎝ 2 ⎠
 lim ────────
x─→1⁺   2    
     - x  + 1
π
─
4
        ⎛π⋅x⎞
     cos⎜───⎟
        ⎝ 2 ⎠
 lim ────────
x─→1⁻   2    
     - x  + 1
π
─
4
$