数学 - Python - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - テイラーの定理(近傍、2回微分、連続、単調増加、単調減少)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\text{'}\left(a\right)\ne 0\\ f\text{'}\text{'}\left(a-\theta h\right)f\text{'}\text{'}\left(a+\theta h\right)>0\\ f\text{'}\left(a\right)<f\text{'}\left(a+\theta h\right)\vee f\text{'}\left(a\right)>f\text{'}\left(a+\theta h\right)\\ \exists 1\theta \in ℝ\left[f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a+\theta h\right)\right]\\ \\ 0<{\theta }_1<1\\ f\text{'}\left(a+\theta h\right)=f\text{'}\left(a\right)+\theta hf\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)\\ f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+h\left(f\text{'}\left(a\right)+\theta hf\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)\right)\\ =f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)+\theta h^{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)\\ \\ 0<{\theta }_2<1\\ f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)+\frac{h^{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)}{2}\\ \\ \theta h^{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)=\frac{h^{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)}{2}\\ \theta =\frac{f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)}{2f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)}\\ h\to 0\Rightarrow \theta \to \frac{1}{2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, pi, sin, Derivative, solve, Limit

x, theta = symbols('x theta')
f = sin(x)
pprint(f)
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()

a = pi / 4
h = 0.00001

expr = f.subs({x: a}) + h * f1.subs({x: a + theta * h}) - f.subs({x: a + h})
s = solve(expr, theta, dict=True)
pprint(s)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample2.py
sin(x)
[{θ: 0.5000004166625}, {θ: 471238.398038052}]
$