数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(定義)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題8-12.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1,z_1\right)+\left(x_2,y_2,z_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_1+x_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_1,z_1\right)+\left(x_2,z_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1,z_1\right)+F\left(x_2,y_2,z_2\right)\\ F\left(c\left(x,y,z\right)\right)\\ =F\left(cx,cy,cz\right)\\ =\left(cx,cz\right)\\ =c\left(x,z\right)\\ =cF\left(x,y,z\right)\end{array}$

      線形である。

   2. 
      $\begin{array}{l}F\left(X+Y\right)\\ =-\left(X+Y\right)\\ =-X+-Y\\ =F\left(X\right)+F\left(Y\right)\\ F\left(cX\right)\\ =-cX\\ =c\left(-X\right)\\ =cF\left(X\right)\end{array}$

      線形である。

   3. 
      $\begin{array}{l}F\left(X+Y\right)\\ =\left(X+Y\right)+\left(0,-1,0\right)\\ =X+\left(0,-1,0\right)+Y+\left(0,-1,0\right)-\left(0,-1,0\right)\\ =F\left(X\right)+F\left(Y\right)-\left(0,-1,0\right)\end{array}$

      線形ではない。

   4. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right),y_1+y_2\right)\\ =\left(2x_1+y_1,y_1\right)+\left(2x_2+y_2,y_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx+cy,cy\right)\\ =c\left(2x+y,y\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$

      線形である。

   5. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right),\left(y_1+y_2\right)-\left(x_1+x_2\right)\right)\\ =\left(2x_1,y_1-x_1\right)+\left(2x_2,y_2-x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx,cy-cx\right)\\ =c\left(2x,y-x\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$

      線形である。

   6. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(y_1+y_2,x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1,x_1\right)+\left(y_2,x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(cy,cx\right)\\ =c\left(y,x\right)\\ =cF\left(y,x\right)\end{array}$

      線形である。

   7. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1+x_2\right)\left(y_1+y_2\right)\\ =x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_1{y}_2+x_2{y}_1\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)+x_1{y}_2+x_2{y}_1\end{array}$

      線形ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix

x1, x2, y1, y2, z1, z2, c = symbols('x1 x2 y1 y2 z1 z2 c')
fs = [
    (lambda m: Matrix([[m[0], m[2]]]), Matrix(
        [[x1, y1, z1]]), Matrix([[x2, y2, z2]])),
    (lambda m: -m, x1, x2),
    (lambda m: m + Matrix([[0, -1, 0]]),
     Matrix([[x1, y1, z1]]), Matrix([[x2, y2, z2]])),
    (lambda m: Matrix([[2 * m[0, 0] + m[0, 1], m[0, 1]]]),
     Matrix([[x1, y1]]), Matrix([[x2, y2]])),
    (lambda m: Matrix([[2 * m[0, 0], m[0, 1] - m[0, 0]]]),
     Matrix([[x1, y1]]), Matrix([[x2, y2]])),
    (lambda m: Matrix([[m[0, 1], m[0, 0]]]),
     Matrix([[x1, y1]]), Matrix([[x2, y2]])),
    (lambda m: m[0, 0] * m[0, 1], Matrix([[x1, y1]]), Matrix([[x2, y2]]))
]

for i, (f, x, y) in enumerate(fs):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    print(f(x + y).expand() == (f(x) + f(y)).expand()
          and f(c * x).expand() == (c * f(x)).expand())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
(a)
True
(b)
True
(c)
False
(d)
True
(e)
True
(f)
True
(g)
False
$