数学 – 代数学 - 群 - 群とその例(結合的な乗法、簡約律、無限集合)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   $\mathbb{N}$ (自然数)は無限集合。乗法を通常の乗法とする。

   $\begin{array}{l}a,b,c\in \mathbb{N}\\ \left(ab\right)c=a\left(bc\right)\\ \\ a,u,u\text{'},v,v\text{'}\in \mathbb{N}\\ au=au\text{'}\\ u=u\text{'}\\ va=v\text{'}a\\ v=v\text{'}\end{array}$

   よって、乗法は結合的でかつ簡約律が成り立つ。

   $\begin{array}{l}a\in \mathbb{N}\\ 1·a=a·1=a\end{array}$

   単位元は$1$ 。

   $2·a=1$ となる自然数$a\in \mathbb{N}$ は存在しない。

   よって群ではない。