数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(単位行列、零、結合律、正方行列、分配律)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題1、2、3、4.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}B=IA\\ b_{ij}=e_i{B}^j=a_{ij}\left(1\le i\le n,1\le j\le r\right)\\ IA=A\\ \\ B=AI\\ b_{ij}=A_i{e}^j=a_{ij}\left(1\le i\le n,1\le j\le n\right)\\ AI=A\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}B=AO\\ b_{ij}=A_i{O}^j=0\\ B=O\end{array}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}AB=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 3\end{array}\right)\\ \left(AB\right)C=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 1\end{array}\right)\\ \\ BC=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 4\end{array}\right)\\ A\left(BC\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 1\end{array}\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}AB=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 11& 1\end{array}\right)\\ \left(AB\right)C=\left(\begin{array}{c}10\\ 14\end{array}\right)\\ \\ BC=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)\\ A\left(BC\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 14\end{array}\right)\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}AB=\left(\begin{array}{ccc}13& 7& 1\\ 0& 2& -5\end{array}\right)\\ \left(AB\right)C=\left(\begin{array}{cc}33& 37\\ 11& -18\end{array}\right)\\ \\ BC=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 6& 1\\ 1& 27\end{array}\right)\\ A\left(BC\right)=\left(\begin{array}{cc}33& 37\\ 11& -18\end{array}\right)\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}{A}^2+AB+BA+B^2\\ =A^2+AB+AB+B^2\\ =A^2+2AB+B^2\\ \\ A^2-AB+BA-B^2\\ =A^2-AB+AB-B^2\\ =A^2-B^2\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Matrix

for i, (a, b, c) in enumerate([(Matrix([[2, 1],
                                        [3, 1]]),
                                Matrix([[-1, 1],
                                        [1, 0]]),
                                Matrix([[1, 4],
                                        [2, 3]])),
                               (Matrix([[2, 1, -1],
                                        [3, 1, 2]]),
                                Matrix([[1, 1],
                                        [2, 0],
                                        [3, -1]]),
                                Matrix([[1],
                                        [3]])),
                               (Matrix([[2, 4, 1],
                                        [3, 0, -1]]),
                                Matrix([[1, 1, 0],
                                        [2, 1, -1],
                                        [3, 1, 5]]),
                                Matrix([[1, 2],
                                        [3, 1],
                                        [-1, 4]]))]):
    print('({})'.format(chr(ord('a') + i)))
    pprint((a * b) * c)
    pprint(a * (b * c))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
(a)
⎡3  2⎤
⎢    ⎥
⎣4  1⎦
⎡3  2⎤
⎢    ⎥
⎣4  1⎦
(b)
⎡10⎤
⎢  ⎥
⎣14⎦
⎡10⎤
⎢  ⎥
⎣14⎦
(c)
⎡33  37 ⎤
⎢       ⎥
⎣11  -18⎦
⎡33  37 ⎤
⎢       ⎥
⎣11  -18⎦
$