数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(直線、1次独立、凸集合、三角形、像)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題20、21.を取り組んでみる。

20. 
    $\begin{array}{l}B-A\ne -\frac{x_2}{x_1}\left(C-A\right)\\ \left(B-A\right)+\frac{x_2}{x_1}\left(C-A\right)\ne 0\\ x_1\left(B-A\right)+x_2\left(C-A\right)\ne 0\end{array}$
21. 1. 
       $\begin{array}{l}P=t_1\text{'}A+t_2\text{'}B+t_3\text{'}C\\ Q=t_1\text{'}\text{'}A+t_2\text{'}\text{'}B+t_3\text{'}\text{'}C\\ 0\le t\le 1\\ tP+\left(1-t\right)Q\\ =\left(t{t}_1\text{'}+t_1\text{'}\text{'}-t{t}_1\text{'}\text{'}\right)A+\left(t{t}_2\text{'}+t_2\text{'}\text{'}-t{t}_2\text{'}\text{'}\right)B+\left(t{t}_3\text{'}+t_3\text{'}\text{'}-t{t}_3\text{'}\text{'}\right)C\\ t{t}_i\text{'}+t_i\text{'}\text{'}-t{t}_i\text{'}\text{'}\\ =t{t}_i\text{'}+t_i\text{'}\text{'}\left(1-t\right)\\ \ge 0\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^3\left(t{t}_i\text{'}+t_i\text{'}\text{'}-t{t}_i\text{'}\text{'}\right)}\\ =t\left({\displaystyle \sum _{i=1}^3{t}_i\text{'}}\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^3{t}_i\text{'}\text{'}}-t{\displaystyle \sum _{i=1}^3{t}_i\text{'}\text{'}}\\ =t+1-t\\ =1\end{array}$

       よって、三角形は凸集合。

    2. 
       

       $S$ を凸集合、$A,B,C\in S$ 　 とする。

       $\begin{array}{l}0\le t\le 1\\ tA+\left(1-t\right)B\in S\\ 0\le s\le 1\\ s\left(tA+\left(1-t\right)B\right)+\left(1-s\right)C\in S\\ stA+s\left(1-t\right)B+\left(1-s\right)C\in S\\ st+s\left(1-t\right)+1-s=1\\ st\ge 0,\\ s\left(1-t\right)\ge 0\\ 1-s\ge 0\end{array}$

       よって、$A$ 、$B$ 、$C$ を含む任意の凸集合は、 A 、$B$ 、$C$ によって決定される三角形を含む。

    3. 
       $\begin{array}{l}{t}_1,t_2,t_3\ge 0\\ t_1+t_2+t_3=0\\ F\left(t_{1}A+t_{2}B+t_{3}C\right)\\ =t_{1}F\left(A\right)+t_{2}F\left(B\right)+t_{3}F\left(C\right)\end{array}$

       また、$F\left(A\right)$ 、$F\left(B\right)$ 、$F\left(C\right)$ は一直線上にないので、$F\left(B\right)-F\left(A\right)$ 、$F\left(C\right)-F\left(A\right)$ は1次独立。

       よって、$A$ 、 $B$ 、$C$ によって決定される三角形の$F$ による像は、 $F\left(A\right)$ 、$F\left(B\right)$ 、$F\left(C\right)$ によって決定される三角形である。