数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 変化率(体積、円錐形)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Pythonからはじめる数学入門(参考書籍)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、補充問題(変化率) 5、6.を取り組んでみる。

5. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{2}·10·l\left(t\right)·l\left(t\right)\frac{25}{2}=2t\\ l\left(t\right)=\sqrt{\frac{2^{2}t}{5·25}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}{t}^{\frac{1}{2}}\\ l\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{5\sqrt{5}}{t}^{-\frac{1}{2}}\\ \frac{2}{5\sqrt{5}}{t}^{\frac{1}{2}}=1\\ t=\frac{5^2·5}{2^2}\\ l\text{'}\left(\frac{5^2·5}{2^2}\right)=\frac{1}{5\sqrt{5}}{\left(\frac{5^2·5}{2^2}\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{2}{5\sqrt{5}·5\sqrt{5}}\\ =\frac{2}{125}\left(m/分\right)\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}{\left(h\left(t\right)·\frac{4}{10}\right)}^{2}h\left(t\right)=5t\\ h\left(t\right)={\left(\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}t\right)}^{\frac{1}{3}}\\ h\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{3}{\left(\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}t\right)}^{-\frac{2}{3}}·\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}\\ {\left(\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}t\right)}^{\frac{1}{3}}=5\\ t=\frac{2^2\pi ·5^3}{3·5^3}=\frac{4}{3}\pi \\ h\text{'}\left(\frac{4}{3}\pi \right)\\ =\frac{1}{3}{\left(\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}·\frac{4}{3}\pi \right)}^{-\frac{2}{3}}·\frac{3·5·5^2}{\pi 2^2}\\ =\frac{5}{4\pi }\end{array}$

コード(Emacs)

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import symbols, sqrt, pprint, Derivative, solve, pi, Rational

print('5.')
t = symbols('t')
lt = sqrt(2 ** 2 * t / 5 ** 3)
pprint(lt)

d1 = Derivative(lt, t)
pprint(d1)

expr = lt - 1
s = solve(expr, t)[0]
pprint(s)

pprint(d1.subs({t: s}).doit())

print('6.')
ht = (3 * 5 ** 3 * t / (2 ** 2 * pi)) ** Rational(1, 3)
pprint(ht)

d1 = Derivative(ht, t)
pprint(d1)
expr = ht - 5
s = solve(expr, t)[0]
pprint(s)

pprint(d1.subs({t: s}).doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample5.py
5.
2⋅√5⋅√t
───────
   25  
d ⎛2⋅√5⋅√t⎞
──⎜───────⎟
dt⎝   25  ⎠
125/4
2/125
6.
  3 ___ 3 ___
5⋅╲╱ 6 ⋅╲╱ t 
─────────────
     3 ___   
   2⋅╲╱ π    
  ⎛  3 ___ 3 ___⎞
d ⎜5⋅╲╱ 6 ⋅╲╱ t ⎟
──⎜─────────────⎟
dt⎜     3 ___   ⎟
  ⎝   2⋅╲╱ π    ⎠
4⋅π
───
 3 
 5 
───
4⋅π
$