数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 正弦と余弦 - 正弦関数および余弦関数

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Pythonからはじめる数学入門(参考書籍)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第4章(正弦と余弦)、1(正弦関数および余弦関数)、練習問題1-18.を取り組んでみる。

1. 
   $\frac{1}{\sqrt{2}}$
2. 
   $\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. 
   $\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. 
   $\sin \frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}$
5. 
   $\cos \frac{7}{6}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
6. 
   $\cos \frac{4}{3}\pi =-\frac{1}{2}$
7. 
   $\frac{\sqrt{3}}{2}$
8. 
   $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
9. 
   $1$
10. 
    $\tan \frac{1}{3}\pi =\sqrt{3}$
11. 
    $1$
12. 
    $\tan \frac{7}{4}\pi =-1$
13. 
    $\begin{array}{l}\sin x=\frac{b}{r}\\ \sin \left(\pi -x\right)=\frac{b}{r}\end{array}$
14. 
    $\begin{array}{l}-\cos x=-\frac{a}{r}\\ \cos \left(\pi -x\right)=\frac{-a}{r}=-\frac{a}{r}\end{array}$
15. 
    $\begin{array}{l}-\sin x=-\frac{b}{r}\\ \sin \left(2\pi -x\right)=\frac{-b}{r}=-\frac{b}{r}\end{array}$
16. 
    $\begin{array}{l}-\sin x=-\frac{b}{r}\\ \sin \left(-x\right)=\frac{-b}{r}=-\frac{b}{r}\end{array}$
17. 
    $\begin{array}{l}\cos x=\frac{a}{r}\\ \cos \left(-x\right)=\frac{a}{r}\end{array}$
18. 
    $\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)\\ \sin -\frac{\pi }{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)\\ a\ne \pm \frac{\pi }{2}\\ \sin x=\sin \left(a+2n\pi \right)\\ \sin x=\sin \left(\pi -a+2n\pi \right)\end{array}$

コード(Emacs)

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import symbols, pi, sin, cos, solve, pprint

x = symbols('x')

for i, (a, b) in enumerate([(sin(pi - x), sin(x)),
                            (cos(pi - x), -cos(x)),
                            (sin(2 * pi - x), -sin(x)),
                            (sin(-x), -sin(x)),
                            (cos(-x), cos(x))],
                           13):
    print('({0}) {1}'.format(i, a == b))

print('(18)')
a = symbols('a', real=True)
pprint(solve(sin(x) - sin(a), x, dict=True))
n = symbols('n', integer=True)
a = pi / 2
print(sin(a) == sin(a + 2 * n * pi))
a = -pi / 2
print(sin(a) == sin(a + 2 * n * pi))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
(13) True
(14) True
(15) True
(16) True
(17) True
(18)
[{x: a}, {x: -asin(sin(a)) + π}]
True
True
$