数学 - Python - SymPy - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数(指数関数、微分)

解析入門〈1〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Pythonからはじめる数学入門(参考書籍)

解析入門〈1〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題3.を取り組んでみる。

n

3. 
   $\begin{array}{l}{e}^{ax}\left(A\cos bx+B\sin bx\right)\\ \\ a{e}^{ax}\left(A\cos bx+B\sin bx\right)+e^{ax}\left(-Ab\sin bx+Bb\cos bx\right)\\ =e^{ax}\left(aA\cos bx+aB\text{}\sin bx-bA\sin bx+bB\cos bx\right)\\ =e^{ax}\left(\left(aA+bB\right)\cos bx+\left(aB-bA\right)x\sin bx\right)\\ \left(aA+bB\right)\cos bx+\left(aB-bA\right)x\sin bx=\cos bx\\ aA+bB=1\\ aB-bA=0\\ B=\frac{1-aA}{b}\\ \frac{a-a^{2}A}{b}-bA=0\\ a-a^{2}A-b^{2}A=0\\ A=\frac{a}{a^2+b^2}\\ B=\frac{1-\frac{a^2}{a^2+b^2}}{b}=\frac{b}{a^2+b^2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import Symbol, symbols, Derivative, sin, cos, solve, exp, pprint

a, b = symbols('a b', nonzero=True, real=True)
A, B, x = symbols('A B x', real=True)

expr1 = Derivative(A * exp(a * x) * cos(b * x) +
                   B * exp(a * x) * sin(b * x), x)

expr2 = exp(a * x) * cos(b * x)

pprint(expr1)
pprint(expr2)
pprint(expr1 - expr2)
pprint(solve((expr1 - expr2), A, B, dict=True))
expr11 = expr1.doit()
pprint(expr11)
pprint(expr11 - expr2)
pprint(solve((expr11 - expr2), A, B, dict=True))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
∂ ⎛   a⋅x               a⋅x         ⎞
──⎝A⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) + B⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x)⎠
∂x                                   
 a⋅x         
ℯ   ⋅cos(b⋅x)
   a⋅x            ∂ ⎛   a⋅x               a⋅x         ⎞
- ℯ   ⋅cos(b⋅x) + ──⎝A⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) + B⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x)⎠
                  ∂x                                   
[]
     a⋅x                 a⋅x                 a⋅x                 a⋅x         
A⋅a⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) - A⋅b⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅a⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅b⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x)
     a⋅x                 a⋅x                 a⋅x                 a⋅x           
A⋅a⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) - A⋅b⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅a⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅b⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) -

  a⋅x         
 ℯ   ⋅cos(b⋅x)
⎡⎧   -B⋅a⋅sin(b⋅x) - B⋅b⋅cos(b⋅x) + cos(b⋅x)⎫⎤
⎢⎨A: ───────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩           a⋅cos(b⋅x) - b⋅sin(b⋅x)        ⎭⎦
$