数学 - 線形代数学 - Python - SymPy - ベクトル空間 – 基底(1次結合、座標、2次元、3次元)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Pythonからはじめる数学入門(参考書籍)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題2、3.を取り組んでみる。

2. 1. 
      $\begin{array}{l}{a}_1=1\\ 1+a_2=0\\ a_2=-1\\ X=A-B\\ \left(1,-1\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}{a}_1+a_2=2\\ -a_1+a_2=1\\ a_2=\frac{3}{2}\\ a_1=\frac{1}{2}\\ X=\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}B\\ \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}2a_1-a_2=1\\ a_1=1\\ a_2=1\\ X=A+B\\ \left(1,1\right)\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}2a_1-a_2=4\\ a_1=3\\ a_2=2\\ X=3A+2B\\ \left(3,2\right)\end{array}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}{a}_1-a_2+a_3=1\\ a_1+a_2=0\\ a_1-a_3=0\\ a_2=-a_1\\ a_3=a_1\\ a_1+a_1+a_1=1\\ a_1=\frac{1}{3}\\ a_2=-\frac{1}{3}\\ a_3=\frac{1}{3}\\ \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}{a}_2+a_3=1\\ a_1+a_2=1\\ -a_1+2a_3=1\\ a_2+2a_3=2\\ a_3=1\\ a_2=0\\ a_1=1\\ \left(1,0,1\right)\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}{a}_1-a_2+a_3=0\\ a_1+a_2=0\\ a_1-a_3=1\\ a_2=-a_1\\ a_1+a_1+a_1-1=0\\ a_1=\frac{1}{3}\\ a_2=-\frac{1}{3}\\ a_3=-\frac{2}{3}\\ \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import Symbol, solve

x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
z = Symbol('z')

exprs = [((1, 0), (1, 1), (0, 1)),
         ((2, 1), (1, -1), (1, 1)),
         ((1, 1), (2, 1), (-1, 0)),
         ((4, 3), (2, 1), (-1, 0))]

for i, ((x1, x2), (a1, a2), (b1, b2)) in enumerate(exprs):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    expr1 = x * a1 + y * b1 - x1
    expr2 = x * a2 + y * b2 - x2
    print(solve((expr1, expr2), dict=True))

exprs = [((1, 0, 0), (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1)),
         ((1, 1, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)),
         ((0, 0, 1), (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1))]

for i, ((x1, x2, x3),
        (a1, a2, a3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3)) in enumerate(exprs):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    expr1 = x * a1 + y * b1 + z * c1 - x1
    expr2 = x * a2 + y * b2 + z * c2 - x2
    expr3 = x * a3 + y * b3 + z * c3 - x3
    print(solve((expr1, expr2, expr3), dict=True))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample2.py
(a)
[{x: 1, y: -1}]
(b)
[{x: 1/2, y: 3/2}]
(c)
[{x: 1, y: 1}]
(d)
[{x: 3, y: 2}]
(a)
[{x: 1/3, y: -1/3, z: 1/3}]
(b)
[{x: 1, y: 0, z: 1}]
(c)
[{x: 1/3, y: -1/3, z: -2/3}]
$