数学 - 解析学 - 数列と級数 - 数列(四則と極限、拡大実数系)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Microsoft Edge(対応?), Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

解析入門〈1〉 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題2.1、1.を取り組んでみる。

問1

\exists n_{0} \in ℕ \forall n \in ℕ [n \geq n_{0} \Rightarrow a_{n} \leq b_{n}]

$\begin{array}{l} β - α = \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) \geq 0 \\ α \leq β \end{array}$
$\begin{array}{l} \exists n_{0} \in ℕ \forall n \in ℕ [n \geq n_{0} \Rightarrow a_{n} \leq b_{n}] m \in ℝ \\ \exists n_{1} \in ℕ \forall n \in ℕ [n \geq n_{1} \Rightarrow a_{n} > m] \\ n_{2} = \max {n_{0}, n_{1}} \\ \forall n \in ℕ [n \geq n_{2} \Rightarrow b_{n} \geq a_{n} > m] \\ \lim_{x \to \infty} b_{n} = + \infty \end{array}$
$\begin{array}{l} l \in ℝ \\ \exists n_{3} \in ℕ \forall n \in ℕ [n \geq n_{3} \Rightarrow b_{n} < m] \\ n_{4} = \max {n_{0}, n_{3}} \\ \forall n \in ℕ [n \geq n_{4} \Rightarrow a_{n} \leq b_{n} < m] \\ \lim_{x \to \infty} a_{n} = - \infty \end{array}$

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