数学 - 2次曲線と直線 - 2次曲線 – 2次曲線と直線(楕円・双曲線と直線、接線の方程式)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と2次曲線と直線/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(2次曲線と直線 - 2次曲線)、12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線、問15、16.を取り組んでみる。

問15.

$\begin{array}{l}双曲線とx軸の交点\left(a,0\right)、\left(-a,0\right)における接線の方程式は、それぞれ\\ x=a\\ ax=a^2\\ \frac{ax}{a^2}-\frac{0y}{b^2}=1\\ \\ x=-a\\ -ax=a^2\\ \frac{-ax}{a^2}-\frac{0y}{b^2}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}x軸上にない点P\left(x_0,y_0\right)について。\\ y-y_0=m\left(x-x_0\right)\\ y=m\left(x-x_0\right)+y_0\\ を接線の方程式とする。\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{{\left(mx-\left(m{x}_0-y_0\right)\right)}^2}{b^2}=1\\ b^2{x}^2-a^2{\left(mx-\left(m{x}_0-y_0\right)\right)}^2=a^2{b}^2\\ \left(b^2-a^2{m}^2\right)x^2+2a^{2}m\left(m{x}_0-y_0\right)x-a^2\left({\left(m{x}_0-y_0\right)}^2+b^2\right)=0\\ x_0=\frac{-a^{2}m\left(m{x}_0-y_0\right)}{b^2-a^2{m}^2}\\ a^2{x}_0{m}^2-b^2{x}_0=a^2{x}_0{m}^2-a^2{y}_{0}m\\ m=\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}\\ y=\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}\left(x-x_0\right)+y_0\\ a^2{y}_{0}y=b^2{x}_{0}x-b^2{x}_0{}^2+a^2{y}_0{}^2\\ b^2{x}_{0}x-a^2{y}_{0}y=b^2{x}_0{}^2-a^2{y}_0{}^2\\ \frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0{}^2}{a^2}-\frac{y_0{}^2}{b^2}\\ \frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1\end{array}$

問16.

1. 
   $\begin{array}{l}{x}^2+2{\left(-x+k\right)}^2=4\\ 3x^2-4kx+2k^2-4=0\\ \frac{D}{4}=4k^2-3\left(2k^2-4\right)\\ =-2k^2+12\\ =-2\left(k^2-6\right)\\ 0個\left(\left|k\right|>\sqrt{6}\right)\\ 1個\left(\left|k\right|=\sqrt{6}\right)\\ 2個\left(\left|k\right|<\sqrt{6}\right)\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{x}^2+2{\left(mx+2\right)}^2=4\\ \left(2m^2+1\right)x^2+8mx+4=0\\ \frac{D}{4}=16m^2-4\left(2m^2+1\right)\\ =4\left(4m^2-\left(2m^2+1\right)\right)\\ =4\left(2m^2-1\right)\\ 0個\left(\left|m\right|<\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ 1個\left(\left|m\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ 2個\left(\left|m\right|>\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\end{array}$