数学 - 数 - 実数(有理数と無理数、無理数であることの証明)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Microsoft Edge(対応?), Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

解析入門〈1〉 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.1(実数)、問1、2、3、4、5.を取り組んでみる。

問1

\begin{array}{l} z = x + y \in ℚ と 仮 定 。 \\ z - x = y \\ x, z \in ℚ \\ z - x \in ℚ \\ y \in ℚ \\ y が 無 理 数 で あ る こ と と 矛 盾 。 \end{array}

問2

\begin{array}{l} z = x y \in ℚ と 仮 定 。 \\ y = \frac{z}{x} \in ℚ \\ y が 無 理 数 で あ る こ と と 矛 盾 。 \end{array}

問3

\begin{array}{l} a = 3 k + 1 \\ a^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 l + 1 \\ a = 3 k + 2 \\ a^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 l + 1 \\ a = 3 k \\ a^{2} = 9 k^{2} = 3 l \\ m, n \in ℤ \\ \sqrt{3} = \frac{m}{n} \\ 3 = \frac{m^{2}}{n^{2}} \\ 3 n^{2} = m^{2} \\ m^{2} = 3 k \\ m = 3 l \\ 3 n^{2} = 9 l \\ n^{2} = 3 l \\ n = 3 j \\ \frac{m}{n} = \frac{3 l}{3 j} = \frac{l}{j} \\ 既 約 で あ る こ と と 矛 盾 。 よ っ て \sqrt{3} は 無 理 数 。 \\ \sqrt{6} = \frac{m}{n} \\ 6 = \frac{m^{2}}{n^{2}} \\ 6 n^{2} = m^{2} \\ m は 2 の 倍 数 か つ 3 の 倍 数 \\ m = 6 k \\ 6 n^{2} = 36 k^{2} \\ n^{2} = 6 k^{2} \\ n = 3 l \\ \frac{m}{n} = \frac{6 k}{3 l} = \frac{2 k}{l} \\ 既 約 で あ る こ と と 矛 盾 。 よ っ て \sqrt{6} は 無 理 数 。 \end{array}

問4

\begin{array}{l} \sqrt{2} + \sqrt{3} = x \in ℚ \\ 5 + 2 \sqrt{6} = x^{2} \\ \sqrt{6} = \frac{x^{2} - 5}{2} \in ℚ \\ 矛 盾 。 \end{array}

問5

\begin{array}{l} a を 無 理 数 と す る 。 \\ x - a < y - a \\ あ る b \in ℚ が 存 在 し て 、 \\ x - a < b < y - a \\ x < b + a = z < y \\ 有 理 数 と 無 理 数 の 和 は 無 理 数 。 \end{array}

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