数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 – 直線・平面・球の方程式(点と平面の距離)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と直線・平面・球の方程式/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離、問35、36、37、38.を取り組んでみる。

問35.

1. 
   $\frac{5}{\sqrt{4+16+9}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$
2. 
   $\frac{\left|3-2+8+3\right|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{12}{3}=4$

問36

1. 
   $\begin{array}{l}{x}_p+6t=10\\ y_p-t=-5\\ z_p-t=4\\ x_p=10-6t\\ y_p=-5+t\\ z_p=4+t\\ 60-36t+5-t-4-t-4=0\\ t=\frac{57}{38}=\frac{3}{2}\\ P\left(1,-\frac{7}{2},\frac{11}{2}\right)\end{array}$
2. 
   $\frac{\left|60+5-4-4\right|}{\sqrt{36+1+1}}=\frac{57}{\sqrt{38}}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{x+10}{2}=1\\ \frac{y-5}{2}=-\frac{7}{2}\\ \frac{z+4}{2}=\frac{11}{2}\\ R\left(-8,-2,7\right)\end{array}$

問37

1. 
   $\begin{array}{l}ax+by+cz+d=0\\ 3a+d=0\\ 3b+d=0\\ 3c+d=0\\ a=b=c=-\frac{1}{3}\\ x+y+z-3=0\\ \frac{\left|4+4+4-3\right|}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\end{array}$
2. 
   $\sqrt{18}·\sqrt{18}·\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{1}{2}·3\sqrt{3}·\frac{1}{3}=\frac{27}{2}$

問38

1. 
   $\begin{array}{l}\left(a,b,c\right)·\left(2,3,1\right)=0\\ \left(a,b,c\right)·\left(2,1,-1\right)=0\\ 2a+3b+c=0\\ 2a+b-c=0\\ 4a+4b=0\\ b=-a\\ c=2a+b=a\\ \overrightarrow{n}=\left(1,-1,1\right)\\ x-y+z+d=0\\ 3-3+0+d_l=0\\ d_l=0\\ x-y+z+d_m=0\\ 1+3+2+d_m=0\\ d_m=-6\\ \alpha :x-y+z=0\\ \beta :x-y+z-6=0\end{array}$
2. 
   $\frac{6}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$