数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 – 直線・平面・球の方程式(平面の方程式(余弦、交線、方向ベクトル、距離、軌跡))

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と直線・平面・球の方程式/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式、問31、32、33、34.を取り組んでみる。

問31.

\begin{array}{l} \cos θ \\ = \frac{(2, - 1, 1) \cdot (1, 2, - 4)}{| (2, - 1, 1) | | (1, 2, - 4) |} \\ = \frac{2 - 2 - 4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}} \\ = \frac{- 4}{3 \sqrt{14}} (鈍 角) \\ \frac{4}{3 \sqrt{14}} (鋭 角) \end{array}

問32

\begin{array}{l} y = 2 x + z - 3 \\ x + 4 x + 2 z - 6 - 4 z = 0 \\ z = \frac{5}{2} x - 3 \\ y = 2 x + \frac{5}{2} x - 3 - 3 \\ = \frac{9}{2} x - 6 \\ x = 2 t \\ y = - 6 + 9 t \\ z = - 3 + 5 t \\ \frac{x}{2} = \frac{y + 6}{9} = \frac{z + 3}{5} \\ (2, 9, 5) \end{array}

問33

平面二なる。

\begin{array}{l} 中 点 \\ (0, 0, - 1) \\ 法 線 ベ ク ト ル \\ (2, 4, - 4) = 2 (1, 2, - 2) \\ x + 2 y - 2 z + d = 0 \\ 2 + d = 0 \\ d = - 2 \\ x + 2 y - 2 z - 2 = 0 \end{array}

問34

直線になる。

\begin{array}{l} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2}} \\ x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} - 4 y + 4 + z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 z + 9 \\ - 2 x + 1 = - 4 y + 4 = - 6 z + 9 \\ x = 3 z - 4 \\ y = \frac{3}{2} z - \frac{5}{4} \\ x = - 4 + 3 t \\ y = - \frac{5}{4} + \frac{3}{2} t \\ z = t \end{array}

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