数学 - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(一般化、数学的帰納法)

線型代数入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問5.を取り組んでみる。

問5.

$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3a\\ 0& 4\end{array}\right)\\ A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 7a\\ 0& 8\end{array}\right)\\ A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 15a\\ 0& 16\end{array}\right)\\ A^5=\left(\begin{array}{cc}1& 31a\\ 0& 32\end{array}\right)\\ \\ A^n=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^n-1\right)a\\ 0& 2^n\end{array}\right)\\ \\ n=1\\ A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ n=k\\ A^k=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^k-1\right)a\\ 0& 2^k\end{array}\right)\\ A^{k+1}=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^k-1\right)a\\ 0& 2^k\end{array}\right)A\\ =\left(\begin{array}{cc}1& a+2\left(2^k-1\right)a\\ 0& 2·2^k\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 2^{k+1}a-a\\ 0& 2^{k+1}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^{k+1}-1\right)a\\ 0& 2^{k+1}\end{array}\right)\\ \\ A^n=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^n-1\right)a\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(n=1,2,···\right)\end{array}$