数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (内積を成分で表すこと, 射影、成分)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すこと、問20.を取り組んでみる。

問20.

$\begin{array}{l} (\vec{a} - t_{0} \vec{b |}) \cdot \vec{b} = 0 \\ (3 - 2 t_{0}, 4 - t_{0}) \cdot (2, 1) = 0 \\ 6 - 4 t_{0} + 4 - t_{0} = 0 \\ t_{0} = 2 \\ {| \vec{a} - 2 \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {| \vec{b} |}^{2} \\ = 25 - 4 \cdot 10 + 4 \cdot 5 \\ = 25 - 40 + 20 \\ = 5 \\ | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{5} \end{array}$
$\begin{array}{l} (\vec{a} - t_{0} \vec{b |}) \cdot \vec{b} = 0 \\ (1 + t_{0}, - 3 - t_{0}) \cdot (- 1, 1) = 0 \\ - 1 - t_{0} - 3 - t_{0} = 0 \\ t_{0} = - 2 \\ {| \vec{a} + 2 \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {| \vec{b} |}^{2} \\ = 10 - 16 + 8 \\ = 2 \\ | \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} (\vec{a} - t_{0} \vec{b |}) \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} - t_{0} \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \\ 4 - t_{0} {| \vec{b} |}^{2} = 0 \\ t_{0} = 1 \\ {| | \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 8 + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 5 \\ | | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5} \end{array}$

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