数学 – 群 - 部分群と生成系(対称群、置換)

代数系入門

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問4.を解いてみる。

問4.

$\begin{array}{l}単射\\ a{x}_1+b,a{x}_2+b\in R\\ a{x}_1+b=a{x}_2+b\\ a{x}_1=a{x}_2\\ x_1=x_2\\ 全射\\ ax+b\in R\\ x\in R\\ \\ G\subset S\left(ℝ\right)\\ I\left(x\right)=1x+0\\ I\in G\\ \\ f,g\in G\\ \left(g\circ f\right)\left(x\right)\\ =g\left(ax+b\right)\\ =a\text{'}\left(ax+b\right)+b\text{'}\\ =\left(a^{\prime }a\right)x+\left(a^{\prime }+b^{\prime }\right)\\ g\circ f\in G\\ \\ f\in G\\ f\left(x\right)=ax+b\\ f^{-1}\left(ax+b\right)=x\\ f^{-1}\left(a·\frac{x\text{'}-b}{a}+b\right)=\frac{x^{\prime }-b}{a}\\ f^{-1}\left(x\text{'}\right)=\left(\frac{1}{a}\right)x+\left(-\frac{b}{a}\right)\\ f^{-1}\in G\end{array}$