数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の諸公式(2倍角、半角)2)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式、問27.を取り組んでみる。

問27.

1. 
   $\begin{array}{l}{\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)}^2\\ ={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha \\ =1+\sin 2\alpha \end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha \\ =\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)\\ =\cos 2\alpha \end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\\ =\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{1+\left({\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\right)}\\ =\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}\\ =\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}\\ =\tan \frac{\alpha }{2}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }+\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }\\ =\frac{{\sin }^2\alpha +1+{\cos }^2\alpha +2\cos \alpha }{\left(1+\cos \alpha \right)\sin \alpha }\\ =\frac{2\left(1+\cos \alpha \right)}{\left(1+\cos \alpha \right)\sin \alpha }\\ =\frac{2}{\sin \alpha }\end{array}$