数学 - 基底と次元、加群 - 基底と次元(座標ベクトル)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(基底と次元、加群)、2(基底と次元)、問6.を解いてみる。

問6.

$\begin{array}{l}{A}_1\left(x_1,y_1,z_1\right)\\ A_2\left(x_2,y_2,z_2\right)\\ A_3\left(x_3,y_3,z_3\right)\\ \\ A_2+A_3=\left(1,0,0\right)\\ A_1+A_3=\left(0,1,0\right)\\ A_1+A_2=\left(0,0,1\right)\\ \\ x_2+x_3=1\\ y_2+y_3=0\\ z_2+z_3=0\\ x_1+x_3=0\\ y_1+y_3=1\\ z_1+z_3=0\\ x_1+x_2=0\\ y_1+y_2=0\\ z_1+z_2=1\\ \\ x_3=1-x_2\\ x_3=-x_1\\ x_2=-x_1\\ -x_1=1+x_1\\ x_1=-\frac{1}{2}\\ x_2=x_3=\frac{1}{2}\\ \\ y_3=-y_2\\ y_3=1-y_1\\ y_2=-y_1\\ 1-y_1=y_1\\ y_1=\frac{1}{2},y_2=-\frac{1}{2},y_3=\frac{1}{2}\\ \\ z_3=-z_2\\ z_3=-z_1\\ z_2=1-z_1\\ -z_1=-1+z_1\\ z_1=\frac{1}{2},z_2=\frac{1}{2},z_3=-\frac{1}{2}\\ \\ A_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),A_2=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),A_3=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\end{array}$