数学 – 整数 - 2つの整数論的関数(Möbiusの関数, 整数論的関数の反転公式)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、8(2つの整数論的関数)、問3.を解いてみる。

問3.

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{d|n}^{}\mu \left(d\right){\displaystyle \sum _{d\text{'}|\frac{n}{d}}^{}F\left(d\text{'}\right)}}\\ ={\displaystyle \sum _{d\text{'}|n}^{}\left({\displaystyle \sum _{d|\frac{n}{d\text{'}}}^{}\mu \left(d\right)}\right)F\left(d^{\prime }\right)}\\ =\mu \left(1\right)F\left(n\right)\\ =1·F\left(n\right)\\ =F\left(n\right)\\ F\left(n\right)={\displaystyle \sum _{d|n}^{}\mu \left(d\right)G\left(\frac{n}{d}\right)}\end{array}$