数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 高次方程式(連立2次方程式, 2次と2次の場合, 適当な工夫)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問36.を解いてみる。

問36.

1. 
   $\begin{array}{l}\left(x-3y\right)\left(x-2y\right)=0\\ x=3y\\ 9y^2+3y^2+2y^2=56\\ 14y^2=56\\ y^2=4\\ y=\pm 2\\ x=\pm 6,y=\pm 2\\ \\ x=2y\\ 4y^2+2y^2+2y^2=56\\ 8y^2=56\\ y^2=7\\ y=\pm \sqrt{7}\\ x=\pm 2\sqrt{7},y=\pm \sqrt{7}\\ \\ \end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}6x^2+xy-2y^2=0\\ \left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)=0\\ y=-\frac{3}{2}x\\ 5x^2-\frac{9}{2}{x}^2=-3\\ x^2=-6\\ x=\pm \sqrt{6}i,y=\mp \frac{3\sqrt{6}i}{2}\\ \\ y=2x\\ 5x^2-8x^2=-3\\ x^2=1\\ x=\pm 1,y=\pm 2\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}y=-\frac{6}{x}\\ x^2+\frac{36}{x^2}=13\\ x^4-13x^2+36=0\\ \left(x^2-4\right)\left(x^2-9\right)=0\\ x^2=4\\ x=\pm 2,y=\mp 3\\ x^2=9\\ x=\pm 3,y=\mp 2\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}y=-\frac{15}{x}\\ x^2-\frac{225}{x^2}=16\\ x^4-16x^2-225=0\\ \left(x^2-25\right)\left(x^2+9\right)=0\\ x^2=25\\ x=\pm 5,y=\mp 3\\ x^2=-9\\ x=\pm 3i,y=\pm 5i\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}xy=11-\left(x+y\right)\\ 22-2\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=7\\ x+y=5\\ xy=6\\ t^2-5t+6=0\\ \left(t-3\right)\left(t-2\right)=0\\ x=3,y=2\\ x=2,y=3\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}60xy+48x-36y-24=0\\ 60xy+45-35y-20=0\\ 3x-y-4=0\\ y=3x-4\\ 5x\left(3x-4\right)+4x-3\left(3x-4\right)-2=0\\ 15x^2-25x+10=0\\ 3x^2-5x+2=0\\ \left(x-1\right)\left(3x-2\right)=0\\ x=1,y=-1\\ x=\frac{2}{3},y=-2\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=-4\\ 2\left(x^2-xy+y^2\right)=-4\\ x^2-xy+y^2=-2\\ y=2-x\\ x^2-2x+x^2+4+x^2-4x+2=0\\ 3x^2-6x+6=0\\ x^2-2x+2=0\\ x=1\pm i,y=1\mp i\end{array}$
8. 
   $\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=-65\\ 13\left(x^2+y^2\right)=-65\\ 13x^2+13y^2+65=0\\ y^2=x^2-13\\ 13x^2+13x^2-169+65=0\\ 26x^2=104\\ x^2=4\\ x=\pm 2,y=\pm 3i\\ x=\mp 2,y=\pm 3i\end{array}$