数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(各集合のの和集合のと直積の和集合の関係)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題9.を解いてみる。

問題9.

$\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}\right)\\ \iff x\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }}\wedge x\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\wedge x\in B_{\lambda }\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\cap B_{\lambda }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\left(A_{\lambda }\cap B_{\lambda }\right)}\end{array}$