数学 – 集合と写像 - 同値関係(商集合, 標準的写像, 有理数)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、6(同値関係)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$\begin{array}{l}mn=mn\\ \left(m,n\right)R\left(m,n\right)\\ \\ \left(m,n\right)R\left(m\text{'},n\text{'}\right)\\ \iff mn\text{'}=m\text{'}n\\ \Rightarrow m\text{'}n=mn\text{'}\\ \iff \left(m\text{'},n\text{'}\right)R\left(m,n\right)\\ \\ \left(m,n\right)R\left(m\text{'},n\text{'}\right)\wedge \left(m\text{'},n\text{'}\right)R\left(m\text{'}\text{'},n\text{'}\text{'}\right)\\ \iff mn\text{'}=m\text{'}n\wedge m\text{'}n\text{'}\text{'}=m\text{'}\text{'}n\text{'}\\ \Rightarrow mn\text{'}=\frac{m\text{'}\text{'}n\text{'}n}{n\text{'}\text{'}}\\ \Rightarrow mn\text{'}\text{'}=m\text{'}\text{'}n\\ \iff \left(m,n\right)R\left(m\text{'}\text{'},n\text{'}\text{'}\right)\end{array}$