数学 – 文字と記号の活躍 - 整式の除法と分数式 – 分数式の演算(蘩分数式)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(文字と記号の活躍 - 式の計算)、2.3(整式の除法と分数式)、部sん数式の問21.を解いてみる。

問21.

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2}}{x (x - 2)} = \frac{x}{x - 2}$
$\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x - 1}{x}}}} \\ = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{x}{x - 1}}} \\ = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{- 1}{x - 1}}} \\ = 1 - \frac{1}{1 + x - 1} \\ = 1 - \frac{1}{x} \\ = \frac{x - 1}{x} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{a - \frac{1}{\frac{a^{2} + 1}{a}}} + \frac{1}{a + \frac{1}{\frac{a^{2} - 1}{a}}} \\ = \frac{1}{a - \frac{a}{a^{2} + 1}} + \frac{1}{a + \frac{a}{a^{2} - 1}} \\ = \frac{1}{\frac{a (a^{2} + 1) - a}{a^{2} + 1}} + \frac{1}{\frac{a (a^{2} - 1) + a}{a^{2} - 1}} \\ = \frac{a^{2} + 1}{a^{3}} + \frac{a^{2} - 1}{a^{3}} \\ = \frac{2 a^{2}}{a^{3}} \\ = \frac{2}{a} \end{array}$

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