数学 – 整数 - 素数、素因数分解(準完全数, 既約な準完全数)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問16.を解いてみる。

問16.

$\begin{array}{l}p=c_0+c_{1}2+···+c_k{2}^k\left(0\le c_i<2\right)\\ p<2^{n+1}\\ p=2^{l_0}+2^{l_1}+···+2^{l_k}\left(0\le l_i\le n\right)\\ a=2^{n}p\\ =\left(2^n-1+1\right)p\\ =\left(2^n-1\right)p+p\\ =2^{l_0}+2^{l_1}+···+2^{l_k}+p+2p+2^{2}p+···2^{n-1}p\\ 2^s\left(0\le s\le n\right)\\ \sigma \left(2^s\right)=\frac{2^{s+1}-1}{2-1}=2^{s+1}-1<2^{s-1}=2·2^s\\ 2^{s}p\left(0\le s<n\right)\\ \sigma \left(2^{s}p\right)=\frac{2^{s+1}-1}{2-1}·\frac{p^2-1}{p-1}\\ =\left(2^{s+1}-1\right)\left(p+1\right)<2^{s+1}p=2·2^{s}p\end{array}$