数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(相加平均, 相乗平均, 不等式, 一般化)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問7-b.を解いてみる。

問7-b.

(a)の不等式で、
$\begin{array}{l}b=a_1+a_2+···+a_{n-1}\\ x=a_n\end{array}$
とし、n-1のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l}{\left(\frac{a_1+a_2+···+a_n}{n}\right)}^n\ge {\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}{a}_n\\ ={\left(\frac{a_1+a_2+···+a_{n-1}}{n-1}\right)}^{n-1}{a}_n\\ \ge a_1{a}_2···a_{n-1}{a}_n\end{array}$
となり、nのときも成り立つ。

よって帰納法より任意の$n$個の実数に対し、不等式は成り立つ。

証明終。