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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問6.を解いてみる。
問6.
となるが存在するとき、その他のは となり、成り立つ。
とする。
とおく。そのとき、帰納法の仮定によって、
が成り立つ。
この両辺に を加えて、を掛けると、
となる。
また、 は凸関数なので、
となる。
凹関数のときに対応する不等式は、
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