2015年2月2日月曜日


代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問6.を解いてみる。

問6.

t k =1 となる kが存在するとき、その他の i は 0 となり、成り立つ。

t k ≠1 とする。

s i = t i ( 1− t n ) ( i=1,···,n−1 )とおく。そのとき、帰納法の仮定によって、
f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )≤ s 1 f( a 1 )+···+ s n−1 f( a n−1 )
が成り立つ。

この両辺に t n 1− t n f( a n ) を加えて、 1− t n を掛けると、
f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n 1− t n f( a n )≤ s 1 f( a 1 )+···+ s n−1 f( a n−1 )+ t n 1− t n f( a n ) ( 1− t n )f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n f( a n ) 1− t n ≤ ( 1− t n )( s 1 f( a 1 )+···+ s n−1 f( a n−1 ) )+ t n f( a n ) 1− t n ( 1− t n )f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n f( a n )≤( 1− t n )( s 1 f( a 1 )+···+ s n−1 f( a n−1 ) )+ t n f( a n )
となる。

また、 f は凸関数なので、
f( t 1 a 1 +···+ t n−1 a n−1 + t n a n ) =f( ( 1− t n )( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n a n ) ≤( 1− t n )f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n f( a n ) ≤( 1− t n )f( s 1 a 1 +···+ s n−1 a n−1 )+ t n f( a n ) = t 1 f( a 1 )+···+ t n f( a n ) f( t 1 a 1 +···+ t n a n )≤ t 1 f( a 1 )+···+ t n f( a n )
となる。

凹関数のときに対応する不等式は、
f( t 1 a 1 +···+ t n a n )≥ t 1 f( a 1 )+···+ t n f( a n )

時刻: 17:00 ラベル: ,

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