数学 – 整数 - 最大公約数(互いに素, 積)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、3(最大公約数)、問5.を解いてみる。

問5.

定理4の系と帰納法より、

$\begin{array}{l}\left(a_k{b}_j\right)=1,\left(a_k,b_{j+1}\right)=1\\ \left(a_k,b_j{b}_{j+1}\right)=1\\ \left(a_k,b_{j+2}\right)=1\\ \left(a_k,b_j{b}_{j+1}{b}_{j+2}\right)=1\\ \left(a_k,b_1{b}_2···b_n\right)=1\\ \left(a_{k+1},b_1{b}_2···b_n\right)=1\\ \left(a_k{a}_{k+1},b_1{b}_2···b_n\right)=1\\ \left(a_1{a}_2···a_n,b_1{b}_2···b_n\right)=1\end{array}$

となり、互いに素である。

証明終。