数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(微分法, 不等式)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問7-a.を解いてみる。

問7-a.

${\left(\frac{b+x}{n}\right)}^n-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}x$
を$x$について微分すると
${\left(\frac{x+b}{n}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}$
となる。

$\frac{x+b}{n}=\frac{b}{n-1}$
から、
$\begin{array}{l}x=\frac{nb}{n-1}-b\\ =\frac{b}{n-1}\end{array}$
のとき、最小値$0$をとる。

よって、
${\left(\frac{b+x}{n}\right)}^n\ge {\left(\frac{b}{n-1}\right)}^{n-1}x$
が成り立つ。

証明終。