数学 – 整数 - 素数、素因数分解(2の累乗, 奇数, 約数)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問8.を解いてみる。

問8.

$e$が約数$d(>1)$ をもつと仮定すると、

$\begin{array}{l}(1<d<e)\\ e=kd\\ \frac{2^e-1}{2^d-1}\\ =\frac{2^{kd}-1}{2^d-1}\\ =\frac{\left(2^d-1\right)2^{\left(k-1\right)d}+2^{\left(k-1\right)d}-1}{2^d-1}\\ =n_1+\frac{2^{\left(k-1\right)d}-1}{2^d-1}\\ =n_1+\frac{\left(2^d-1\right)2^{\left(k-2\right)d}+2^{\left(k-2\right)d}-1}{2^d-1}\\ =n_2+\frac{2^{\left(k-2\right)d}-1}{2^d-1}\\ ···\\ =n_l+\frac{2^d-1}{2^d-1}\\ =n_l+1\end{array}$

となり、仮定と矛盾する。

よって、$e$ は素数でなければならない。