数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(整列性)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問2.を解いてみる。

問2.

$S$ は下に有界ならば、ある$m\in \mathbb{Z}$ が存在して、すべての$x\in S$ に対し、$m<x$ が成り立つ。

集合$S\text{'}$ を
$\{a\in \mathbb{Z}|\exists b\in S[a=b-m]\}$
とすると、$b-m>0$ となり、$S\text{'}$ は空でない自然数の集合なので、整列性より最小元をもつ。

よって、その最小元を$a\text{'}$ とすれば、Sは最小元$a\text{'}+m$ をもつ。

$S$ が上に有界ならば、ある$m\in \mathbb{Z}$ が存在して、すべての$x\in S$ に対して$m>x$ が成り立つ。

集合$S\text{'}$ を
$\{a\in \mathbb{Z}|\exists b\in S[a=m-b]\}$
とすると、$m-b>0$ となり、$S\text{'}$ は空でない自然数の集合なので、整列性より最小元をもつ。

よって、その最小元を$a\text{'}$ とすれば、$S$ は最大元$m-a\text{'}$ をもつ。

証明終