数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(数学的帰納法の原理)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問1.を解いてみる。

問1.

$S$ に含まれない自然数全部の集合を$S\text{'}$ とする。

$S\text{'}\ne \varphi$ と仮定すると、整列性によって、$S\text{'}$は最小元$n_0$をもつ。仮定(1')によって、$n_0>0$である。$n_0$は$S\text{'}$の最小の元なので、$0\le k<n_0$ を満たすすべての整数$k$は、$S$ に含まれる。したがって、仮定(2')より$n_0$も$S$ に含まれる。これは、$n_0$は$S$ に含まれない自然数全部の集合$S\text{'}$ の元であるという仮定と矛盾する。

よって、$S\text{'}=\varphi$ 、すなわち、(1')と(2')の2つの性質を持つ自然数の集合$S$は、すべての自然数の集合$\mathbb{N}$と一致する。