数学 - 連立方程式(連立2次方程式(複素数の平方根))

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)3.4(連立方程式)問38を解いてみる。

問38.

$z=x+y\text{i}$

とおく。

$z^2=\left(x^2-y^2\right)+2xy\text{i}$

$x^2-y^2=a\text{,}2xy=b$

$x^2+\left(-y^2\right)=a\text{,}{x}^2\left(-y^2\right)=-\frac{b^2}{4}$

$t^2-at-\frac{b^2}{4}=0$

$t=\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}$

$x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\text{,}{y}^2=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\text{;}{x}^2=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}\text{,}{y}^2=\frac{-a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

後者は

$\left|a\right|<\sqrt{a^2+b^2}$

となり$x^2が負の数、すなわちxが虚数となるので条件を満たさない。$

また、$2xy=b$ より$x、yはb>0ならば同付号、b<0ならば異付号なので、$

$z=\pm \left(\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\pm \frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\text{i}\right)\text{(}ただしかっこの中の付号はb>0のときは+、b<0のときは-\text{)}$