数学 - 連立方程式(連立2次方程式(2次と2次の場合))

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)3.4(連立方程式)問36を解いてみる。

問.36

(1)

$\left(x-3y\right)\left(x-2y\right)=0$

$x-3y=0またはx-2y=0$

$x-3y=0のとき、x=3y$

$9y^2+3y^2+2y^2=56\text{,}y=\pm 2$

$x=\pm 6$

$x-2y=0のときx=2y$

$4y^2+2y^2+2y^2=56\text{,}y=\pm \sqrt{7}$

$x=\pm 2\sqrt{7}$

よって、

$x=\pm 6\text{,}y=\pm 2\text{;}x=\pm 2\sqrt{7}\text{,}y=\pm \sqrt{7}\text{(}複号同順\text{)}$

(2)

$6x^2+xy-2y^2=0$

$\left(3x+2y\right)\left(2x-y\right)=0$

$3x+2y=0のとき、y=-\frac{3}{2}x$

$5x^2-\frac{9}{2}{x}^2=-3\text{,}{x}^2=-6\text{,}x=\pm \sqrt{6}\text{i}$

$y=\mp \frac{3\sqrt{6}}{2}\text{i}$

$2x-y=0のとき、y=2x$

$5y^2-8x^2=-3\text{,}x=\pm 1$

$y=\pm 2$

よって、

$x=\pm \sqrt{6}\text{i,}y=\mp \frac{3\sqrt{6}}{2}\text{i;}x=\pm 1\text{,}y=\pm 2\text{(}複号同順\text{)}$

(3)

$x^2{y}^2=36$

$t^2-13t+36=0$

$\left(t-4\right)\left(t-9\right)=0$

$x^2=4\text{,}{y}^2=9またはx^2=9\text{ ,}{y}^2=4$

また、

$xy=-15$

より、$xとyは異付号なので$ 、

$x=\pm 2\text{,}y=\mp 3\text{;}x=\pm 3\text{,}y=\mp 2\text{(}複号同順\text{)}$

(4)

$x^2+\left(-y^2\right)=16{\mathrm{,x}}^2\left(-y^2\right)=-225$

$t^2-16t-225=0$

 $t=8\pm \sqrt{64+225}$

 $t=8\pm \sqrt{289}$

$t=25\text{,}t=-9$

よって

$x^2=25\text{,}{y}^2=9またはx^2=-9\text{ ,}{y}^2=-25$

これと$xy=-15より$

$x=\pm 5\text{,}y=\mp 3\text{;}x=\pm 3\text{i ,}y=\mp 5\text{i(}複号同順\text{)}$

(5)

$xy=6\text{,}x+y=5$

$t^2-5t+6=0$

$\left(t-3\right)\left(t-2\right)=0$

$x=3\text{,}y=2\text{;}x=2\text{ ,}y=3$

(6)

$-3x+y+4=0$

$y=3x-4$

$3x^2-5x+2=0$

$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)=0$

$x=1\text{,}x=-1\text{;}x=\frac{2}{3}\text{,}y=-2$

(7)

$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=-4$

$x^2-xy+y^2=-2$

$x^2-2x+x^2+4+x^2-4x=-2$

$x^2-2x+2=0$

$x=1\pm \text{i,}y=1\mp \text{i(}複号同順\text{)}$

(8)

$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=-65$

$x^2+y^2=-5$

$x^2=4、y^2=-9$

$x=\pm 2、y=\pm 3\text{i(}複号任意\text{)}$