数学学習の記録 432 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.1(算術の基本定理), 二三の簡単な応用

2011年1月29日土曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.1(算術の基本定理), 二三の簡単な応用の問1を解いてみる。

問1

背理法による。

$^{n}\sqrt{k}$

が有理数であると仮定すると、

$^{n}\sqrt{k}=\frac{a}{b}$

a,bは正の整数で, a/bは既約((a,b)=1)

とおくことができる。仮定より、a/bは整数ではないので、

b>1

となる。そこで、pをbの1つの素因数とすると、

$a^{n}=kb^{n}$

よって

$p|a^{n}$

となる。ゆえに

となる。これはa/bは既約((a,b)=1)という仮定に反する。

従って、

$^{n}\sqrt{k}$

は有理数でない、すなわち無理数である。

(証明終)

今日からまた新たな章へ突入！