"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.1(算術の基本定理), 二三の簡単な応用の問1を解いてみる。
問1
背理法による。

が有理数であると仮定すると、
a,bは正の整数で, a/bは既約((a,b)=1)
とおくことができる。仮定より、a/bは整数ではないので、
b>1
となる。そこで、pをbの1つの素因数とすると、
よって
となる。ゆえに
となる。これはa/bは既約((a,b)=1)という仮定に反する。
従って、
は有理数でない、すなわち無理数である。
(証明終)
今日からまた新たな章へ突入!
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