数学学習の記録 365 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、簡単な例の問20, 21, 22 | Kamimura's blog

2010年11月23日火曜日

数学学習の記録 365 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、簡単な例の問20, 21, 22

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、簡単な例の問20, 21, 22を解いてみる。

問20

(1)

$[3x]_{-2}^{5}=21$

(2)

$[\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x]_{-1}^{1}$

$=\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+5-(-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-5)=\frac{34}{3}$

(3)

$[\frac{1}{3}(t-3)^{3}]_{0}^{3}=9$

(4)

$[\frac{1}{4}y^{4}-2y^{2}]_{3}^{-1}$

$=\frac{1}{4}[y^{2}(y^{2}-8)]_{3}^{-1}$

$=\frac{1}{4}(-7-9)=-4$

(5)

$[-\frac{1}{4}(4-x)^{4}]_{4}^{2}$

=-4

(6)

$[\frac{1}{2}(2x-1)^{4}]_{1}^{0}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

問21

(1)

$[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}=\frac{3}{4}\cdot16=12$

(2)

$[-x^{-1}]_{2}^{1}=-\frac{1}{2}$

(3)

$[-\cos\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$

(4)

$=[\frac{1}{3}\sin3x]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{3}$

(5)

$[\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}(e^{2}-\frac{1}{e^{2}})$

(6)

$[x\log x-x]_{e}^{1}$

=-1-(e-e)=-1

問22

それぞれの関数のグラフはiPadのneu.Notesによってかいてます。

(1)

関数のグラフ

$\int_{0}^{1}(1-x^{2})dx+\int_{1}^{3}(x^{2}-1)dx$

$=[x-\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}+[\frac{1}{3}x^{3}-x]_{1}^{3}$

$=1-\frac{1}{3}+9-3-(\frac{1}{3}-1)=\frac{22}{3}$

(2)

関数のグラフ

$\int_{-1}^{0}(-1)dx+\int_{0}^{1}(2x-1)dx$

$=[-x]_{-1}^{0}+[x^{2}-x]_{0}^{1}$

=-1

(3)

関数のグラフ

$\int_{-1}^{0}(x^{2}-x)dx+\int_{0}^{1}(-x^{2}+x)dx+\int_{1}^{2}(x^{2}-x)dx$

$=[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{0}+[-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1}+[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}]_{1}^{2}$

$=-(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2})+\frac{8}{3}-2-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})$

$=\frac{7}{3}+\frac{3}{2}-2=\frac{11}{6}$

(4)

関数のグラフ

$\int_{1}^{4}(-\sqrt{x}+2)dx+\int_{4}^{9}(\sqrt{x}-2)dx$

$=[-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+2x]_{1}^{4}+[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x]_{4}^{9}$

$=-\frac{2}{3}\cdot2^{3}+8-(-\frac{2}{3}+2)+\frac{2}{3}\cdot3^{3}-18-(\frac{2}{3}\cdot2^{3}-8)$

$=\frac{2}{3}(-8+1+27-8)-4=4$

(5)

関数のグラフ

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2xdx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\sin 2x)dx$

$=[-\frac{1}{2}\cos2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+[\frac{1}{2}\cos2x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}(-1))$

(6)

$e^{x}=2$

$x=\log 2$ <1

よって関数のグラフ

$\int_{0}^{\log 2}(2-e^{x})dx+\int_{\log 2}^{1}(e^{x}-2)dx$

$=[2x-e^{x}]_{0}^{\log2}+[e^{x}-2x]_{\log 2}^{1}$

$=2\log 2-e^{\log2}-(-1)+e-2-(e^{\log2}-2\log 2)$

$=4\log 2-5+e$

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