数学学習の記録 344 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、導関数の増減と凹凸

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、導関数の増減と凹凸の問32を解いてみる。

問32

問題の任意の点(a, f(a))における接線の方程式は

g(x)=f(a)+f'(x)(x-a)

よって関数h(x)を

h(x)=f(x)-g(x)

=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)

とおくと

h'(x)=f'(x)-f'(a)

となる。導関数f'(x)は区間Iにおいて強い意味で増加なので増減表は

x		a
h'(x)	-	0	+
h(x)	減	0	増

となる。ゆえに、区間Iにおいて点P以外の点では曲線y=f(x)はその接線より上方にある。

(証明終)