数学学習の記録 314 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問30, 31, 32 | Kamimura's blog

2010年10月2日土曜日

数学学習の記録 314 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問30, 31, 32

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問30, 31, 32を解いてみる。

問30

(1)

$\frac{3}{(2-x)^{2}}$

(2)

$\frac{(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}$

$=\frac{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}$

(3)

$\frac{2x(3x+4)-(x^{2}+2)3}{(3x+4)^{2}}$

$=\frac{3x^{2}+8x-6}{(3x+4)^{2}}$

(4)

$\frac{(2x-2)(x^{2}+x+2)-(x^{2}-2x+6)(2x+1)}{(x^{2}+x+2)^{2}}$

$=\frac{3x^{2}-8x-10}{(x^{2}+x+2)^{2}}$

(5)

$\frac{2x(x^{3}-4)-(x^{2}+3)3x^{2}}{(x^{3}-4)^{2}}$

$=\frac{-x^{4}-9x^{2}-8x}{(x^{3}-4)^{2}}$

(6)

$\frac{3(3x+2)^{2}3(2x-1)^{2}-(3x+2)^{3}2(2x-1)2}{(2x-1)^{4}}$

$=\frac{(3x+2)^{2}(2x-1)(9(2x-1)-4(3x+2))}{(2x-1)^{4}}$

$=\frac{(3x+2)^{2}(6x-17)}{(2x-1)^{3}}$

問31

$\lim_{h\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}}$

$=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

問32

(1)

$-20x^{-21}$

(2)

$-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

(3)

$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

(4)

$-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

(5)

$\frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}}$

(6)

$(x^{\frac{5}{4}}-x^{\frac{6}{5}})+(x+1)(\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}-\frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}})$

$=\frac{9}{4}x^{\frac{5}{4}}-\frac{11}{5}x^{\frac{6}{5}}+\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}-\frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}}$

(7)

$\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(x^{2}+1)-\sqrt{x}2x}{(x^{2}+1)^{2}}$

$=\frac{-\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}$

$=\frac{-3x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}}{2(x^{2}+1)^{2}}$

(8)

$\frac{(2x-1)x^{\frac{1}{2}}-(x^{2}-x+4)\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{x}$

$=\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}}{x}$

$=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{3}{2}}$

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