数学学習の記録 300 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限値の計算の問4 | Kamimura's blog

2010年9月18日土曜日

数学学習の記録 300 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限値の計算の問4

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限値の計算の問4を解いてみる。

問4

(1)

$\lim_{x\rightarrow1}{x-1}=0$

より

$\lim_{x\rightarrow1}{(x^{2}+ax+b)}=0$

とならなければならないので、

1+a+b=0

よって

b=-a-1

このことから、

$\lim_{x\rightarrow1}{\frac{x^{2}+ax-a-1}{x-1}}$

$=\lim_{x\rightarrow1}{\frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}}$

$=\lim_{x\rightarrow1}{(x+a+1)}$

=2+a=5

よって

a=3, b=-4

(2)

$\lim_{x\rightarrow3}{(x^{2}-(3+b)x+3b)}=0$

より、

$\lim_{x\rightarrow3}{(x^{2}+ax+6)}=0$

とならなければならないので、

9+3a+6=0

a=-5

よって

$\lim_{x\rightarrow3}{\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-(3+b)x+3b}$

$=\lim_{x\rightarrow3}{\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-b)}}$

$=\lim_{x\rightarrow3}{\frac{x-2}{x-b}}$

$=\frac{1}{3-b}=\frac{2}{5}$

ゆえに

5=6-2b

b=1/2

よって

a=-5, b=1/2

(3)

$\lim_{x\rightarrow2}{(x^{2}-x-2)}=0$

より

$\lim_{x\rightarrow2}{(x^{3}+2a+b)}=0$

とならなければならないので

8+2a+b=0

b=-2a-8

よって

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+ax-2a-8}$

$=\lim_{x\rightarrow2}{\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x^{2}+2x+a+4)}$

$=\lim_{x\rightarrow2}{\frac{x+1}{x^{2}+2x+a+4}}$

$=\frac{3}{12+a}=\frac{1}{3}$

よって

12+a=9

a=-3, b=-2

(4)

$\lim_{x\rightarrow1}{(a\sqrt{x+1}-b)}$

$=\lim_{x\rightarrow1}{{(x-1)\cdot\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}}$

$=0\cdot\sqrt{2}=0$

よって

$\sqrt{2}a-b=0$

$b=\sqrt{2}a$

このことから

$\lim_{x\rightarrow1}{\frac{a(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow1}{\frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}$

$=\lim_{x\rightarrow1}{\frac{a}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}$

$=\frac{a}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

よって

$a=4,\ b=4\sqrt{2}$

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)