数学学習の記録 284.1 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問38, 問39

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問38, 問39を解いてみる。

問38

問題の式を二項定理を用いて展開すると一般項は

$(-1)^{r}{}_{9}C_{r}x^{9-r}\frac{1}{x^{r}}=(-1)^{r}{}_{9}C_{r}x^{9-2r}$

となるので、xの3乗の係数は

9-2r=3

r=3

より、

$(-1)^{3}{}_{9}C_{3}=-84$

xの二乗の係数は

9-2r=2

r=7/2

より、0。

xの-1乗の係数は

9-2r=-1

r=5

$(-1)^{5}{}_{9}C_{5}=-126$

問39

問題の式を二項定理を用いて展開すると一般項は

${}_{6}C_{r}(3x^{2})^{6-r}\left(\frac{1}{2x}\right)^{r}=3^{6-r}\cdot2^{-r}{}_{6}C_{r}x^{12-3r}$

xの6乗の係数は

12-3r=6

r=2

より

$\frac{81}{4}\cdot15=\frac{1215}{4}$

xの4乗の係数は

12-3r=4

r=8/r

より0。

xの-3乗の係数は

12-3r=-3

r=5

より

$3\cdot2^{-5}{}_{6}C_{5}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$

定数項は

12-3r=0

r=4

より

$3^{2}\cdot2^{-4}{}_{6}C_{4}=\frac{9\cdot15}{16}=\frac{135}{16}$

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2010年9月2日木曜日