数学学習の記録 258.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問34, 35

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問34, 35を解いてみる。

問34

n本の直線によって平面が

$a_{n}$

この部分に分けられるとすると、

$a_{1}=2$

$a_{n+1}=a_{n}+(n+1)$

という漸化式が成り立つので、平面は1本の直線では2つの平面に、n本(n>=2)のときは、

$a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)$

$=2+\frac{1}{2}(n-1)(2+n)=\frac{1}{2}(n^{2}+n+2)$

これはn=1のときも成り立つので平面はn本の直線によって上記の個数の部分に分けられる。

問35

(1)

$a_{2}-a_{1}=1$

$a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1}-a_{n})$

より、問題の数列の階差数列は初項1, 公比-1/2の等比数列となる。

(2)

階差数列の一般項は

$b_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

(3)

問題の数列は

$a_{1}=0$

n>=2のとき、階差数列より

$a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}$

$=\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)$

これはn=1のときも成り立つので求める問題の数列の一般項となる。

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