数学学習の記録 250 "平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等差数列の和の問8, 9

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等差数列の和の問8, 9を解いてみる。

問8

 

(1)

 

5で割り切れる自然数はkを整数として

 

5k

 

の形に表される。そして、これが3桁の自然数であるためには、kは

 

 

を満たさなければならない。よって

 

 

ゆえに、kのとり得る値は

 

k=20, 21, ・・・, 199

 

したがってこれらの数は

 

初項 100

 

末項 5×199=995

 

項数 199-19=180

 

の等差数列を作る。よって、これらの数の総和は

 

(2)

 

5で割ると3余る自然数はkを整数として

 

5k+3

 

の形に表される。そして、これが3桁の自然数であるためには、kは

 

 

を満たさなければならない。よって

 

 

ゆえに、kのとり得る値は

 

k=20, 21, ・・・, 199

 

したがって、これらの数は

 

初項 103

 

末項 998

 

項数 199-19=180

 

の等差数列を作る。よって、これらの数の総和は

 

 

 

問9

 

2で割り切れる整数はkを整数として

 

2k

 

の形に表される。そして、これが1から1000までの自然数であるためには

 

 

 

 

 

よって、kのとり得る値は

 

k=1, 2, ・・・, 500

 

また、5で割り切れる整数はk'を整数として

 

5k'

 

の形に表される。そして、これが1から1000までの自然数であるためには

 

 

 

よって、k'のとり得る値は

 

k'=1, 2, ・・・, 200

 

また、2でも5でも割り切れる数、すなわち10で割り切れる整数はk''を整数として

 

10k''

 

の形に表される。そしてこれが1から100までの自然数であるためには

 

 

 

 

よって、k''のとり得る値は

 

k''=1, 2, ・・・, 100

 

よって2でも5でも割り切れない数の個数は

 

1000-500-200+100=400

 

また、これらの数は

 

初項 1

 

末項 999

 

項数 400

 

の等差数列を作るので、これらの数の総和は

 

 

となる。